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CSP-J方格取数题解|动态规划解法|洛谷P7074代码解析

9个月前 (06-08)

一、题目解读

题目要求在一个n×m的网格中，从左上角到右下角选择一条路径，路径上的数字可重复取用，求取数之和的最大值。路径限制为仅能向右或向下移动。需注意路径的灵活性与重复取数的可能性，传统单向动态规划难以直接适用，需设计双向状态转移策略。

二、解题思路

1. 动态规划核心：设计二维状态dp[i][j][k]，k=0表示从上方到达(i,j)的最大和，k=1表示从下方到达。

2. 双向处理：先从上到下计算每一列的“从上到达”状态，再从下到上计算“从下到达”状态，利用左右方向的可达性扩展路径。

3. 边界优化：首列仅能从上方转移，末行仅能从下方转移，避免无效计算。

4. 状态转移方程：

从上到达：dp[i][j][0] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j]（左方或下方转移）

从下到达：dp[i][j][1] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i+1][j][1]) + grid[i][j]（左方或上方转移）

三、解题步骤

1. 输入与初始化：

读入网格尺寸n×m及数值矩阵grid。

初始化起点：dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = grid[0][0]，即双向路径均从原点开始。

2. 首列处理：仅能从上方转移，递推公式：dp[i][0][0] = dp[i][0][1] = dp[i-1][0][0] + grid[i][0]。

3. 主体动态规划：

外层循环按列遍历（j=1→m-1）。

内层循环分为两部分：

从上到下计算dp[i][j][0]，利用左方或下方状态转移。

从下到上计算dp[i][j][1]，利用左方或上方状态转移。

4. 输出结果：最终答案取右下角两种状态的最大值：max(dp[n-1][m-1][0], dp[n-1][m-1][1])。

四、代码与注释

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 1e9;  // 定义正无穷边界

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);  // 加速IO

    int n, m;
    cin >> n >> m;  // 输入网格尺寸

    vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(m));  // 存储网格数值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            cin >> grid[i][j];
        }
    }

    // dp[i][j][0] 表示从上方到达(i,j)的最大和
    // dp[i][j][1] 表示从下方到达(i,j)的最大和
    vector<vector<vector<long long>>> dp(n, vector<vector<long long>>(m, vector<long long>(2, -INF)));  // 初始化状态数组（双向）

    // 初始化起点
    dp[0][0][0] = dp[0][0][1] = grid[0][0];  // 双向路径均从原点开始

    // 处理第一列，只能从上方来
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        dp[i][0][0] = dp[i][0][1] = dp[i-1][0][0] + grid[i][0];  // 首列仅依赖上方状态
    }

    // 动态规划处理
    for (int j = 1; j < m; ++j) {  // 按列遍历
        // 从上到下处理当前列
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            // 可以从左边来
            if (i == 0) {  // 边界情况：第一行仅依赖左方
                dp[i][j][0] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j];
            } else {  // 一般情况：综合左方或下方状态
                dp[i][j][0] = max({dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i-1][j][0]}) + grid[i][j];
            }
        }

        // 从下到上处理当前列
        for (int i = n-1; i >= 0; --i) {
            // 可以从左边来
            if (i == n-1) {  // 边界情况：末行仅依赖左方
                dp[i][j][1] = max(dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1]) + grid[i][j];
            } else {  // 一般情况：综合左方或上方状态
                dp[i][j][1] = max({dp[i][j-1][0], dp[i][j-1][1], dp[i+1][j][1]}) + grid[i][j];
            }
        }
    }

    cout << max(dp[n-1][m-1][0], dp[n-1][m-1][1]) << endl;  // 输出终点状态最大值

    return 0;
}