洛谷2181题解析：组合数学中顶点交点的计算与代码优化

一、题目解读

洛谷2181题要求计算n个顶点中任意选择4个顶点确定的交点数量。题目核心在于组合数学的应用，需通过排列组合公式推导结果，同时注意处理大数以避免溢出问题。理解题目中的“交点”定义（由4个顶点唯一确定）是解题的第一步。

二、解题思路

采用组合数学的经典思路：从n个顶点中选4个的组合数即为交点数量。公式推导如下：

    选择第一个顶点：C(n,1) = n

    选择第二个顶点：C(n-1,1) = n-1

    选择第三个顶点：C(n-2,1) = n-2

    选择第四个顶点：C(n-3,1) = n-3

由于每个选择步骤相互独立，总组合数为乘积，但需除以阶乘（4!）消除重复计数：

最终公式：n*(n-1)(n-2)(n-3) / 4! = n*(n-1)/2 * (n-2)/3 * (n-3)/4

使用unsigned long long类型防止大数溢出，确保结果正确性。

三、解题步骤

1. 输入n：通过cin读取顶点数量，使用无符号长整型存储。

2. 计算组合数：按推导公式逐步计算乘积，分步除以2、3、4简化计算，避免中间结果溢出。

3. 输出结果：直接输出计算结果，无需额外处理。

代码简洁高效，重点在于数学公式的精确转换与数据类型选择。

四、代码与注释

#include <iostream>  
using namespace std;  

int main() {  
    unsigned long long n; // 使用unsigned long long防止大数溢出  
    cin >> n;  
    // 从n个顶点中选4个顶点确定一个交点  
    unsigned long long result = n * (n-1) / 2 * (n-2) / 3 * (n-3) / 4;  
    cout << result << endl;  
    return 0;  
}

注释说明：

数据类型选择：unsigned long long可处理较大数值，避免整数溢出。

公式拆分：分步除法优化计算，减少中间结果规模，提升稳定性。

五、总结

洛谷2181题通过组合数学的巧妙应用，将顶点交点问题转化为组合计数。解题关键在于公式推导的准确性以及数据类型的合理选择。用户代码通过分步除法简化计算，同时使用unsigned long long确保大数场景下的正确性。掌握此类题目有助于提升数学建模与编程优化的综合能力。